Результаты числовых расчетов и сравнительный анализ методов восстановления

Сущность метода может быть описана только на примере с данными по нескольким временным срезам. На первом временном срезе все цензурированные наблюдения заменяются математическим ожиданием всех нецензурированных наблюдений. На втором временном срезе все цензурированные наблюдения заменяются пересмотренными наблюдениями первого временного среза, умноженные на коэффициент, равный отношению суммы математического ожидания всех нецензурированных наблюдений первого и второго временных срезов к математическому ожиданию всех нецензурированных наблюдений первого среза минус один. На третьем временном срезе все цензурированные наблюдения заменяются суммой пересмотренных наблюдений первого и второго срезов, умноженной на коэффициент, равный отношению суммы математического ожидания всех нецензурированных наблюдений первого, второго и третьего временных срезов к сумме математических ожиданий всех нецензурированных наблюдений первого и второго срезов минус один.

Метод двойного экспоненциального сглаживания

Метод двойного экспоненциального сглаживания (далее DES) или метод Хольта для решения вопроса цензурирования при прогнозировании спроса был предложен Ferguson и Queenan [98]. Для работы с данными о продажах продукта определенного рейса DES использует две сглаживающие константы: одну для сглаживания базовой составляющей спроса, другую для сглаживания трендовой составляющей. Пусть t представляет период времени между /, началом продаж, и В, моментом достижения спросом предела бронирования. Время рассчитывается в обратном порядке, то есть / и В - количество дней от отправления, тогда t Є [І,І-1,...,В],І В. После момента времени В запросы на бронирование продолжают появляться, но они уже не регистрируются. Если спрос не достигает предела бронирования, В = 0 (окончание продаж). Наблюдаемым спросом являются запросы, зарегистрированные между моментами времени I и В. Используются следующие обозначения: At истинный кумулятивный спрос за период t; Ft - экспоненциально сглаженная базовая компонента за период t; Tt - экспоненциально сглаженная трендовая компонента за период t; FITt - прогнозное значение кумулятивного спроса за период t; а сглаживающая константа для базовой составляющей; Р сглаживающая константа для трендовой составляющей. Прогнозное значение для предстоящего периода V. FITt = Ft + Tt, (19) где Ft = FITt+1 + a(At+1 - FITt+1) Tt = Tt+1+p(Ft-FITt+1). Сглаживающие константы рассчитываются за счет минимизации ошибки прогноза: в тт (At-FITt)2. (21) t=I

В качестве начальных значений для F7 и 7} выбираются истинное значение спроса в период / и средняя трендовая для доступных значений кумулятивного спроса, соответственно. Данная модель затем используется для получения прогнозных значений кумулятивного спроса для всех периодов, в рамках которых спрос подвергся цензурированию.

Такая процедура восстановления спроса проводится для каждой из имеющихся кривых бронирования. Далее можно воспользоваться восстановленными кривыми бронирования для получения оценок параметров спроса любого из временных срезов. Если Xt - оценка спроса выбранного временного спроса для і - ой кривой бронирования, тогда оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения распределения спроса этого временного среза определяются как а = -L — и п ЕГ=І( І-Ю2 о — ——. п Пример реализации данного метода представлен в вышеупомянутой статье.

Методы Projection Detruncation (PD) и Expectation Maximization (EM) — являются статистическими итерационными методами, состоящими на каждой итерации их двух шагов: оценочного шага (Е-шага), на котором производится замена всех цензурированных элементов выборки их верхними оценками и максимизационного (М-шага), на котором производится оценка параметров распределения за счет максимизации логарифмической функции правдоподобия, построенной по восстановленным на первом шаге данным. Оба шага повторяются до сходимости. Отличие методов состоит в выборе значений, которые будут взяты в качестве верхних оценок. Формулы для расчета верхних оценок в рамках каждого метода будут отличаться в зависимости от предположения о типе распределения общего спроса. Метод Expectation maximization

Термин «ЕМ» был введен в (Dempster, Laird and Rubin [39]). Как уже было упомянуто, каждая итерация метода ЕМ состоит из оценочного шага (Е-шага), на котором производится замена всех цензурированных элементов выборки их верхними оценками и максимизационного (М-шага), на котором ищется максимум логарифмической функции правдоподобия, построенной по восстановленным на E-шаге данным. Оценки параметров распределения общего спроса на каждой итерации определяются указанной точкой максимума.